Das Thema interessiert mich aktuell sehr stark. Ich möchte es gerne außerhalb des CNNA-Threads diskutieren, weil es sich um eine grundsätzliche mathematisch-physikalische Fragestellung handelt.

Ganz wichtig: Mir geht es ausdrücklich nicht darum, Mathematik- oder Physikgrundlagen in Frage zu stellen.
Ich möchte verstehen, welche Struktur mindestens benötigt wird, damit der Körper der komplexen Zahlen bzw. eine komplexe Struktur aus einem rein reellwertigen Grundobjekt hervorgehen kann.

Die Ausgangsfrage ist also nicht:

„Kann man sich die imaginäre Achse einfach als zweite, zur reellen Achse orthogonale Achse vorstellen?“

Denn genau hier scheint mir ein wichtiger Punkt zu liegen: Orthogonalität ist nicht der Kern. Orthogonalität gehört zur gewählten geometrischen Darstellung. Die algebraische Kernfrage ist vielmehr, ob aus rein reellen Daten kanonisch ein Operator J entsteht mit

bzw. kurz

und ob diese Daten J gegenüber J unterscheiden können.

Präziser gefragt:

Woher kommt kanonisch ein Operator

Und noch genauer:

Wodurch wird J gegenüber -J ausgezeichnet?

Die übliche Darstellung

ist natürlich völlig korrekt. Man kann ℂ auch als zweidimensionalen reellen Vektorraum auffassen. Aber genau dort liegt für mich der interessante Punkt: Die zweidimensionale reelle Ebene allein ist noch nicht die eigentliche Erklärung. Entscheidend ist die zusätzliche Struktur, durch die Multiplikation mit i als Rotation um 90° bzw. als Operator J mit

festgelegt wird.

In der algebraischen Sicht kann man schreiben:

Damit wird ein Element adjungiert, dessen Quadrat -1 ist. Aber auch hier stellt sich, wenn man nach Provenienz fragt, die Frage: Wird damit aus einem reellen Grundobjekt wirklich kanonisch ein bestimmtes i erzeugt, oder erhält man zunächst nur die symmetrische Möglichkeit

bzw. eine Struktur, die unter komplexer Konjugation invariant bleibt?

Jakito hatte dazu im anderen Thread geschrieben:

J muss nicht immer kanonisch ausgezeichnet sein. Aber in den Fällen, wo es tatsächlich ausgezeichnet ist, liegt das meist daran, dass eine solche zweidimensionale Ebene implizit gegeben ist, auf der die komplexen Zahlen operieren.

Und weiter:

Die zweidimensionale reelle Ebene hat einfach eine kanonische Orientierung (und eine kanonische Basis). Bei einer beliebigen zweidimensionalen Ebene (z.B. einem Unterraum des dreidimensionalen Raums) ist hingegen keine Orientierung kanonisch gegeben. (Metrik oder kompatible Struktur sollten im Moment eigentlich irrelevant sein.)

Komplexe Zahlen können auch so auftauchen, dass J und -J sowie alle anderen nicht reellen Zahlen immer paarweise auftreten. Es könnte sein, dass dies bei relativistischer QFT der Fall wäre, wenn man auf die Auszeichnung von Materie gegenüber Anti-Materie verzichten würde. Das verschiebt das Problem zwar einerseits "nur", aber die Frage, warum in der Biologie eine Chiralität dominiert und in der Physik Materie gegenüber Anti-Materie dominiert, ist eine echte physikalische (oder biologische) Frage, die vielleicht irgendwann in fernster Zukunft tatsächlich beantwortet werden wird. (Wohingegen Grübeln über den Unterschied zwischen J und -J oft eine Art Paradox oder Verwirrung ist.)

Genau daran möchte ich anknüpfen.

Meine derzeitige Vermutung ist:

Ein rein reelles, symmetrisches, spiegelinvariantes und reziprokes Substrat kann zwar Strukturen erzeugen, die wie eine Vorform einer komplexen Struktur aussehen. Es kann eventuell eine zweidimensionale reelle Ebene, Spektralpaare, eine reelle Paarstruktur oder sogar ein Paar

liefern. Aber es liefert nicht automatisch eine kanonische Auswahl

Das wäre dann keine Kleinigkeit, sondern genau der Obstruktionspunkt, mit dem ich in CNNA gegen eine Wand gefahren bin.

Man kann das zunächst ganz allgemein formulieren. Es ist dafür meines Erachtens nicht entscheidend, ob man als reelles Testsubstrat ein Gitter, einen Baum oder ein anderes symmetrisches Objekt betrachtet. Ein kubisches Gitter ist geometrisch anschaulicher. Ein b-ärer Baum ist als reines Provenienz- bzw. Adressobjekt noch stärker entkleidet, weil er zunächst keine eingebettete Ebene, keine zyklische Ordnung, keine Flächenorientierung und keine komplexe Phase mitbringt.

Letzteres ist nach wie vor wichtig für CNNA, soll hier aber zunächst nicht im Vordergrund stehen. Für die grundsätzliche Obstruktion scheinen mir ähnliche Fragen aufzutreten: Wenn das Ausgangsobjekt vollständig reell, symmetrisch und spiegelinvariant ist, wodurch könnte dann überhaupt eine ausgezeichnete komplexe Orientierung entstehen?

Gerade deshalb scheint mir die allgemeine Frage wichtiger als das konkrete Beispiel:

Welche internen reellen Daten reichen aus, um eine komplexe Struktur abzuleiten?

Mögliche Kandidaten wären zum Beispiel:

1. ein reeller Träger V,
2. reelle Operatoren oder Randdaten,
3. eine ausgezeichnete zweidimensionale reelle Ebene,
4. ein Operator

   

   mit

   

   ,
5. und zusätzlich eine Orientierung oder Sign-Line-Auswahl, die (J) gegenüber (-J) auszeichnet.

Die Obstruktionsfrage lautet dann:

Wenn alle Daten invariant unter Spiegelung, Relabeling oder Konjugation sind, kann daraus überhaupt ein einzelnes J folgen? Oder ist dann höchstens das Paar

ableitbar?

Anders formuliert: Reicht eine rein reelle Struktur aus, um eine komplexe Struktur eindeutig festzulegen, oder entsteht zunächst nur eine komplexe Struktur bis auf Vorzeichenwahl? Genau hier scheint mir die eigentliche algebraische Frage zu liegen – nicht bei der geometrischen Darstellung durch zwei orthogonale Achsen.

Ich habe dazu bisher keine endgültige Antwort. Der Thread soll deshalb keine Behauptung verkaufen, sondern die Frage sauber eingrenzen:

• Was muss ein reellwertiges Grundobjekt mindestens enthalten, damit daraus nicht bloß eine zweidimensionale reelle Struktur, sondern tatsächlich eine kanonisch komplexe Struktur hervorgeht?
• Und falls ein symmetrisches reelles Substrat nur {J,-J} liefert: Welche zusätzliche Struktur wäre dann mathematisch nötig, ohne sie einfach von außen als komplexe Phase, Orientierung oder Zeitrichtung einzusetzen?

Zur transparenten Orientierung und als Obstruktionsgrundlage dient mir die Obstruktionsanalyse des b-ären Baums: