Zwei Unbekannte können in der Mathematik eine unlösbare Herausforderung darstellen. Aber ich möchte Sie nicht entmutigen: Bei der folgenden geometrischen Knobelei gibt es einen Lösungsweg. Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen die Länge einer Kathete – diese beträgt 18 (siehe Abbildung oben).

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Wir wissen außerdem, dass auch die anderen beiden Seiten des Dreiecks eine ganzzahlige Länge haben.

Finden Sie alle Lösungen!

(Alle Seitenlängen sollen größer als null sein!)

Es existieren zwei Lösungen: 30 und 24 sowie 80 und 82.

Wir nutzen den Satz des Pythagoras und eine binomische Formel. Mit a bezeichnen wir die gesuchte Länge der zweiten Kathete des Dreiecks und mit c die Länge der Hypotenuse. Dann gilt:

c² = 18² + a²
c² – a² = 18²
(c – a) * (c + a) = 18²
(c – a) * (c + a) = 324

Weil a und c ganzzahlig sind, sind auch (c – a) und (c + a) ganze Zahlen. Ihr Produkt ist 324. Deshalb müssen (c – a) und (c + a) aus den Primfaktoren von 324 gebildet werden.

Die Primfaktorzerlegung von 324 lautet:

324 = 2² * 3⁴

Die Summe der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) ist 2c, muss also eine gerade Zahl sein. Das ist nur möglich, wenn entweder (c – a) und (c + a) beide ungerade oder beide gerade sind.

Unter den Primfaktoren von 324 befinden sich zwei Zweien. Das bedeutet, dass immer mindestens einer der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) gerade ist. Woraus folgt, dass beide gerade sein müssen – siehe vorheriger Absatz.

Da das Produkt der beiden Faktoren genau zwei Zweien enthält und beide Faktoren gerade sein müssen, erhält jeder Faktor genau eine Zwei. In (c – a) und (c + a) muss daher jeweils der Primfaktor 2 stecken.

Nun müssen wir nur noch alle Varianten anschauen, wie die vier Dreien über (c – a) und (c + a) verteilt werden können. Weil (c – a) nicht größer ist als (c + a), gibt es nur folgende drei Möglichkeiten:

Die dritte Variante entfällt, weil dann a null sein muss.

Bei der ersten Kombination erhalten wir c = 82 und a = 80. Die zweite Variante führt zur Lösung c = 30 und a = 24.

Die Idee zu diesem Rätsel stammt vom YouTube-Kanal »Herr Mathe« .

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