Das folgende Problem tangiert Sie hoffentlich nicht peripher! Zwei unterschiedlich große Halbkreise grenzen aneinander. Hinzu kommt eine gemeinsame Tangente und eine Strecke c, die vom gemeinsamen Berührpunkt der beiden Halbkreise senkrecht bis zur oberen Tangente verläuft – siehe Bild oben.

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Zeigen Sie, dass das Produkt der beiden Kreisradien a und b so groß ist wie das Quadrat von c.

Also ab = c²

Wir verbinden die Mittelpunkte beider Halbkreise jeweils mit dem Punkt, an dem die Tangente oben den Kreis berührt. Diese beiden Strecken haben die Längen a und b und stehen senkrecht auf der Tangente. Aus Symmetriegründen teilt die Strecke c die Strecke oben (welche die Halbkreise tangential berührt) in zwei gleich lange Strecken der Länge c. Warum? Sie erkennen sicher die beiden Drachenvierecke mit den Seitenlängen a, a, c, c sowie b, b, c, c – siehe folgende Zeichnung.

Nun verschieben wir die tangential verlaufende Strecke oben parallel nach unten, sodass ihr linker Endpunkt mit dem Mittelpunkt des linken Halbkreises zusammenfällt. So entsteht ein rechtwinkliges, in der Skizze oben gelb hervorgehobenes rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a + b, 2c und b – a.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

(a + b)² = (2c)² + (b – a)²

Daraus folgt direkt:

4ab = 4c²
ab = c²

Und damit sind wir fertig!

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