Es gibt rationale Zahlen, reelle Zahlen, irrationale Zahlen, periodische Zahlen. In dieser auf den ersten Blick unübersichtlichen Gemengelage ist das folgende Rätsel angesiedelt.

Gegeben ist eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Vor dem Komma steht eine Null, danach folgen die Ziffern 123456789 – nicht nur einmal, sondern unendlich oft – siehe Abbildung oben.

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Es handelt sich also um eine periodische Dezimalzahl. Die Frage ist, ob diese Zahl auch eine rationale Zahl ist. Sie müsste dann als Bruch zweier ganzer Zahlen a, b darstellbar sein:

a/b = 0,123456789123456789...

Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung?

Ja, die periodische Dezimalzahl ist zugleich eine rationale Zahl und lässt sich wie folgt als Bruch aufschreiben:

0,123456789... = 123.456.789/999.999.999

Wir können Zähler und Nenner noch um den Faktor 9 kürzen:

0,123456789... = 13.717.421/111.111.111

Entscheidend ist die Division durch eine ausschließlich aus Neunen bestehende Zahl. Mit diesem Trick lässt sich jede beliebige periodische Dezimalzahl als gebrochene, das heißt rationale Zahl darstellen.

Warum funktioniert das?

Nehmen wir an, die periodische Zahl x hat vor dem Komma eine Null – so wie in unserem Beispiel. Die Periodenlänge beträgt n. Und die natürliche Zahl p besteht genau aus den n Ziffern der Periode. Dann gilt (in salopper Schreibweise):

x = 0,pppp...

Diese Gleichung multiplizieren wir nun mit 10ⁿ und erhalten:

10ⁿ * x = p + x

Von der rechten Seite rutschen durch die Multiplikation mit 10ⁿ die n Ziffern von p auf die linke Seite des Kommas. Rechts vom Komma stehen weiterhin unendlich oft die n Ziffern von p hintereinander – die Periode. Wenn wir die Gleichung 10ⁿ * x = p + x nach x umstellen, erhalten wir:

x = p/(10ⁿ – 1)

p und 10ⁿ – 1 sind die gesuchten ganzen Zahlen a und b. 10ⁿ – 1 entspricht genau der aus n Neunen bestehenden natürlichen Zahl. Womit wir bewiesen haben, dass der Trick mit den Neunen im Nenner funktioniert, um eine periodische Zahl mit der Periode p als Bruch darzustellen.

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